2  Postulados da mecânica quântica

A formulação matemática da mecânica quântica é baseada em um conjunto de postulados que definem como representar o estado de um sistema físico, como descrever grandezas observáveis, quais resultados podem ser obtidos em uma medida e como o sistema evolui no tempo.

A seguir, apresentamos uma forma simplificada dos postulados, considerando principalmente sistemas descritos por estados normalizados e observáveis com espectro discreto não degenerado.

I. Estado quântico.

Em um instante de tempo \(t\), o estado físico de um sistema quântico é representado por um vetor de estado

\[ \ket{\psi(t)} \]

pertencente a um espaço de Hilbert complexo, denotado por \(\mathcal{H}\).

O vetor \(\ket{\psi(t)}\) contém toda a informação acessível sobre o sistema. Em geral, considera-se que o estado está normalizado, isto é,

\[ \braket{\psi(t)|\psi(t)} = 1 . \tag{2.1}\]

Na representação de posição, esse mesmo estado pode ser descrito por uma função de onda \(\psi(\mathbf{r},t)\), cuja normalização é dada por

\[ \int |\psi(\mathbf{r},t)|^2 \, d\tau = 1 . \tag{2.2}\]

II. Observáveis.

Toda quantidade física mensurável \(A\) é descrita por um operador hermitiano \(\hat{A}\) atuando no espaço de Hilbert \(\mathcal{H}\).

Esse operador é chamado de observável. A condição de hermiticidade,

\[ \hat{A}^{\dagger} = \hat{A}, \tag{2.3}\]

garante que os resultados possíveis de uma medida sejam números reais.

Exemplos importantes de observáveis são o operador posição \(\hat{x}\), o operador momento linear \(\hat{p}_x\) e o operador energia, ou Hamiltoniano, \(\hat{H}\).

Na representação de posição, os operadores posição e momento linear são escritos como

\[ \hat{x}=x \]

e

\[ \hat{p}_x = -i\hbar\frac{\partial}{\partial x}. \tag{2.4}\]

III. Resultados possíveis de uma medida.

As únicas medidas possíveis da quantidade física \(A\) são os autovalores \(a_n\) do operador associado \(\hat{A}\).

Os autovalores e autovetores de \(\hat{A}\) são definidos pela equação de autovalores

\[ \hat{A}\ket{a_n}=a_n\ket{a_n}, \tag{2.5}\]

onde \(\ket{a_n}\) é o autovetor associado ao autovalor \(a_n\).

Assim, ao medir a grandeza \(A\), o resultado obtido deve necessariamente ser um dos valores permitidos \(a_n\).

IV. Probabilidade de uma medida.

Quando medimos a quantidade física \(A\) em um sistema preparado no estado \(\ket{\psi}\), a probabilidade de obter o autovalor \(a_n\) é dada por

\[ P(a_n)=|\braket{a_n|\psi}|^2 . \tag{2.6}\]

Essa expressão é conhecida como regra de Born.

O termo \(\braket{a_n|\psi}\) representa a amplitude de probabilidade de encontrar o sistema no autoestado \(\ket{a_n}\). O módulo ao quadrado dessa amplitude fornece a probabilidade associada ao resultado \(a_n\).

Se o estado \(\ket{\psi}\) for escrito como uma superposição dos autoestados de \(\hat{A}\),

\[ \ket{\psi} = \sum_n c_n \ket{a_n}, \tag{2.7}\]

então os coeficientes \(c_n\) são dados por

\[ c_n = \braket{a_n|\psi}, \]

e a probabilidade de medir \(a_n\) é

\[ P(a_n)=|c_n|^2. \tag{2.8}\]

V. Estado após a medida.

Se uma medida da quantidade \(A\) for realizada e o autovalor \(a_n\) for obtido, o estado do sistema imediatamente após a medida passa a ser o autoestado correspondente a esse autovalor.

Para um espectro discreto não degenerado, essa mudança pode ser escrita como

\[ \ket{\psi} \longrightarrow \frac{\braket{a_n|\psi}}{\sqrt{|\braket{a_n|\psi}|^2}}\ket{a_n}. \tag{2.9}\]

O fator

\[ \frac{\braket{a_n|\psi}}{\sqrt{|\braket{a_n|\psi}|^2}} \]

é apenas uma fase global. Como fases globais não alteram o estado físico, frequentemente escrevemos simplesmente

\[ \ket{\psi} \longrightarrow \ket{a_n}. \tag{2.10}\]

Esse postulado expressa a chamada redução do estado ou colapso da função de onda. Ele indica que, após a medida, uma nova medida imediata da mesma grandeza \(A\) produzirá novamente o mesmo autovalor \(a_n\), desde que o sistema não tenha evoluído significativamente entre as duas medidas.

No caso de autovalores degenerados, o estado não colapsa necessariamente para um único autovetor, mas para a projeção de \(\ket{\psi}\) no subespaço associado ao autovalor medido.

VI. Evolução temporal.

Na ausência de medidas, a evolução temporal do vetor de estado \(\ket{\psi(t)}\) é governada pela equação de Schrödinger dependente do tempo:

\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\ket{\psi(t)} = \hat{H}\ket{\psi(t)} , \tag{2.11}\]

onde \(\hat{H}\) é o operador Hamiltoniano, associado à energia total do sistema.

Esses postulados fornecem a estrutura conceitual e matemática da mecânica quântica. A partir deles, é possível descrever fenômenos como a quantização da energia, a dualidade onda-partícula, o princípio da incerteza, a estrutura eletrônica dos átomos e as ligações químicas.